Exercice 1 — Silo agricole

 Solide composé

Exercice 1 — Silo agricole⭑⭑⭑⭑ Très difficile

Un silo est formé d'un cylindre surmonté d'un demi-sphère et reposant sur un cône. Le cylindre a un rayon de 3 m et une hauteur de 8 m. Le demi-sphère a le même rayon. Le cône a le même rayon et une hauteur de 4 m. Calculer le volume total du silo en m³ puis en litres.

Indice : décomposer en 3 solides distincts et additionner leurs volumes.

1Cylindre : V₁ = π × 3² × 8 = π × 72 ≈ 226,19 m³
2Demi-sphère : V₂ = (2/3) × π × 3³ = (2/3) × π × 27 ≈ 56,55 m³
3Cône : V₃ = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 ≈ 37,70 m³
4Total = 226,19 + 56,55 + 37,70 = 320,44 m³

≈ 320,44 m³ = 320 440 litres

Cylindre creux Exercice 5 — Tuyau en PVC

 Cylindre creux

Exercice 5 — Tuyau en PVC⭑⭑⭑ Difficile

Un tuyau cylindrique a un diamètre extérieur de 10 cm, un diamètre intérieur de 8 cm et une longueur de 2 m. Quel est le volume de matière (PVC) qui compose le tuyau, en cm³ ?

V = π × (R² − r²) × h

R = 5 cm (ext), r = 4 cm (int), h = 200 cm
V = π × (25 − 16) × 200 = π × 9 × 200
V = π × 1800

≈ 5 655 cm³ de PVC

Ex. 4 — Chapeau de sorcière

 Cône droit

Ex. 4 — Chapeau de sorcière⭑⭑ Facile

Un cône droit a un rayon de base r = 8 cm et une hauteur h = 15 cm. Calculer l'aire latérale (sans la base).

A_lat = πrl où l = √(r² + h²)

1Apothème l = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 cm
2A_lat = π × 8 × 17 = 136π ≈ 427,26 cm²
3A_tot = 136π + π × 8² = 136π + 64π = 200π ≈ 628,32 cm²

l = 17 cm | A_lat ≈ 427,3 cm² | A_tot ≈ 628,3 cm²

Ex. 3 — Prisme triangulaire

 Prisme droit

Ex. 3 — Prisme triangulaire⭑⭑ Facile

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Sa hauteur est de 10 cm. Calculer son aire latérale et son aire totale.

A_lat = périmètre_base × h

1Périmètre base = 3 + 4 + 5 = 12 cm
2A_lat = 12 × 10 = 120 cm²
3Aire base = (3 × 4) / 2 = 6 cm² → 2 bases = 12 cm²
4A_tot = 120 + 12 = 132 cm²

A_lat = 120 cm² | A_tot = 132 cm²

Ex. 2 — Boîte de conserve

 Cylindre

Ex. 2 — Boîte de conserve⭑ Facile

Un cylindre droit a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calculer son aire latérale et son aire totale.

A_lat = 2πrh | A_tot = 2πr(h + r)

1A_lat = 2π × 5 × 12 = 120π ≈ 376,99 cm²
2A_tot = 2π × 5 × (12 + 5) = 2π × 85 = 170π ≈ 534,07 cm²

A_lat ≈ 377 cm² | A_tot ≈ 534 cm²

Ex. 1 — Boîte en carton

 Cube

Ex. 1 — Boîte en carton⭑ Très facile

Un cube a une arête de 6 cm. Calculer son aire latérale (4 faces) et son aire totale (6 faces).

A_lat = 4a² | A_tot = 6a²

1A_lat = 4 × 6² = 4 × 36 = 144 cm²
2A_tot = 6 × 36 = 216 cm²

A_lat = 144 cm² | A_tot = 216 cm²

Exercice 6 — Retrouver les dimensions

 Problème inversé

Exercice 6 — Retrouver les dimensions⭑⭑⭑⭑⭑ Expert

Un cône et une sphère ont le même volume V = 288π cm³. Le rayon de la sphère est R. Le cône a un rayon de base égal à 2R et une hauteur h. Trouver R et h.

Indice : exprimer R depuis V_sphère = 288π, puis h depuis V_cône = 288π avec r = 2R.

1V_sphère = (4/3)πR³ = 288π → R³ = 288 × 3/4 = 216 → R = 6 cm
2Rayon du cône : r = 2R = 12 cm
3V_cône = (1/3)π × 12² × h = (1/3)π × 144 × h = 48πh = 288π
4h = 288π / 48π = 6 cm

R = 6 cm (sphère)  |  r = 12 cm, h = 6 cm (cône)

Exercice 5 — Frustum (tronc de pyramide)

 Pyramide tronquée

Exercice 5 — Frustum (tronc de pyramide)⭑⭑⭑⭑⭑ Expert

Un tronc de pyramide à base carrée a une base inférieure de côté a = 10 cm, une base supérieure de côté b = 4 cm, et une hauteur h = 9 cm. Calculer son volume exact, puis vérifier en le décomposant en une pyramide entière moins le sommet coupé.

V = h/3 × (A₁ + A₂ + √(A₁×A₂))

1A₁ = 10² = 100 cm² | A₂ = 4² = 16 cm²
2√(A₁ × A₂) = √(100 × 16) = √1600 = 40 cm²
3V = 9/3 × (100 + 16 + 40) = 3 × 156 = 468 cm³

Vérification par décomposition :
4Rapport des côtés : b/a = 4/10 = 2/5. Hauteur totale H : H/h_petit = a/b → H/(H−9) = 10/4
    4H = 10H − 90 → 6H = 90 → H = 15 cm
5Grande pyramide : V_G = (1/3) × 100 × 15 = 500 cm³
6Petite pyramide coupée : V_P = (1/3) × 16 × 6 = 32 cm³
7V = 500 − 32 = 468 cm³ ✓

V = 468 cm³ (vérifié par deux méthodes)

Exercice 4 — Bouée de piscine

 Tore

Exercice 4 — Bouée de piscine⭑⭑⭑⭑ Très difficile

Une bouée torique (tore) a un rayon de tube de r = 12 cm et un rayon central (du centre du tore au centre du tube) de R = 40 cm. Calculer son volume en litres et sa surface totale en cm².

V = 2π²Rr² | S = 4π²Rr

1Volume : V = 2π² × 40 × 12² = 2π² × 40 × 144 = 11 520π²
    V ≈ 2 × 9,8696 × 40 × 144 ≈ 113 677 cm³
2Surface : S = 4π² × 40 × 12 = 1 920π²
    S ≈ 4 × 9,8696 × 480 ≈ 18 946 cm²

V ≈ 113,7 litres  |  S ≈ 18 946 cm²

Exercice 3 — Boîte de conserve optimale

 Optimisation

Exercice 3 — Boîte de conserve optimale⭑⭑⭑⭑⭑ Expert

On veut fabriquer une boîte cylindrique (sans couvercle) d'un volume fixe de 500 cm³ en utilisant le moins de matière possible. Trouver le rayon r et la hauteur h qui minimisent la surface latérale + fond. Quelle est la surface minimale ?

Indice : exprimer h en fonction de r via V = πr²h, substituer dans S = πr² + 2πrh, dériver et annuler S'(r) = 0.

S(r) = πr² + 2πr × (500 / πr²) = πr² + 1000/r    

1h = 500 / (πr²)
2S(r) = πr² + 1000/r
3S'(r) = 2πr − 1000/r² = 0 → 2πr³ = 1000 → r³ = 500/π
4r = ∛(500/π) ≈ ∛(159,15) ≈ 5,42 cm
5h = 500 / (π × 5,42²) ≈ 500 / 92,35 ≈ 5,41 cm (≈ r, résultat classique !)
6S_min = π × 5,42² + 1000/5,42 ≈ 92,35 + 184,50 ≈ 276,85 cm²

r ≈ h ≈ 5,42 cm → S_min ≈ 276,9 cm²

Exercice 2 — Bloc de métal percé

 Volume creusé

Exercice 2 — Bloc de métal percé⭑⭑⭑⭑ Très difficile

Un bloc cylindrique de rayon 10 cm et de hauteur 25 cm est percé de 4 trous cylindriques identiques de rayon 2 cm traversant toute la hauteur, disposés symétriquement. On retire aussi une calotte sphérique sur le dessus : sphère de rayon 10 cm, hauteur de calotte h = 3 cm. Quel est le volume restant de métal ?

Indice : V_calotte = π × h² × (R − h/3). Soustraire les 4 trous et la calotte du cylindre.

V_calotte = π × h² × (R − h/3)    

1Cylindre plein : V = π × 10² × 25 = 2 500π ≈ 7 853,98 cm³
24 trous : 4 × π × 2² × 25 = 4 × 100π = 400π ≈ 1 256,64 cm³
3Calotte : π × 3² × (10 − 1) = π × 9 × 9 = 81π ≈ 254,47 cm³
4V_métal = (2 500 − 400 − 81)π = 2 019π

≈ 6 342,87 cm³ de métal

Exercice 1 — Silo agricole

 Solide composé

Exercice 1 — Silo agricole⭑⭑⭑⭑ Très difficile

Un silo est formé d'un cylindre surmonté d'un demi-sphère et reposant sur un cône. Le cylindre a un rayon de 3 m et une hauteur de 8 m. Le demi-sphère a le même rayon. Le cône a le même rayon et une hauteur de 4 m. Calculer le volume total du silo en m³ puis en litres.

Indice : décomposer en 3 solides distincts et additionner leurs volumes.

1Cylindre : V₁ = π × 3² × 8 = π × 72 ≈ 226,19 m³
2Demi-sphère : V₂ = (2/3) × π × 3³ = (2/3) × π × 27 ≈ 56,55 m³
3Cône : V₃ = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 ≈ 37,70 m³
4Total = 226,19 + 56,55 + 37,70 = 320,44 m³

≈ 320,44 m³ = 320 440 litres

Exercice 5 — Tuyau en PVC

 Cylindre creux

Exercice 5 — Tuyau en PVC⭑⭑⭑ Difficile

Un tuyau cylindrique a un diamètre extérieur de 10 cm, un diamètre intérieur de 8 cm et une longueur de 2 m. Quel est le volume de matière (PVC) qui compose le tuyau, en cm³ ?

V = π × (R² − r²) × h

R = 5 cm (ext), r = 4 cm (int), h = 200 cm
V = π × (25 − 16) × 200 = π × 9 × 200
V = π × 1800

≈ 5 655 cm³ de PVC

Exercice 4 — Boîte de conserve

 Cylindre

Exercice 4 — Boîte de conserve⭑⭑ Moyen

Une boîte de conserve a un rayon de 4 cm et une hauteur de 11 cm. Quelle est sa contenance en cl ? En déduire si elle fait 400 g (sachant que 1 cm³ d'eau ≈ 1 g).

V = π × r² × h        

V = π × 16 × 11 = π × 176
V ≈ 552,9 cm³ ≈ 55,3 cl

≈ 553 g → non, c'est plutôt une boîte de 500 g, pas 400 g.

Exercice 3 — Aquarium cubique

 Cube

Exercice 3 — Aquarium cubique⭑ Facile

Un aquarium cubique a une arête de 30 cm. Combien de litres d'eau peut-il contenir (en supposant qu'on le remplisse à 90 %) ?

V = a³    

V total = 30³ = 27 000 cm³ = 27 litres
V à 90 % = 27 × 0,9

= 24,3 litres

Exercice 2 — Cornet de glace

CôneExercice 2 — Cornet de glace⭑ Facile

Un cornet de glace a une base circulaire de diamètre 6 cm et une hauteur de 14 cm. Quelle est sa contenance en cl ?

V = (1/3) × π × r² × h

r = 3 cm, h = 14 cm
V = (1/3) × π × 9 × 14 = (1/3) × π × 126
V ≈ 131,9 cm³

≈ 13,2 cl

Exercice 1 — Ballon de football

 Sphère

Exercice 1 — Ballon de football⭑ Facile

Un ballon de football a un diamètre de 22 cm. Quel est son volume en litres ?

V = (4/3) × π × r³    

r = 11 cm
V = (4/3) × π × 11³ = (4/3) × π × 1331
V ≈ 5 575 cm³

≈ 5,58 litres

Un cylindre d’un diamètre de 7 cm et d’une hauteur de 20 cm : la contenance est de 1 L ou de 75 cl ?

 Un cylindre d’un diamètre de 7 cm et d’une hauteur de 20 cm : la contenance est de 1 L ou de 75 cl ?

Le volume d'un cylindre se calcule avec V = π × r² × h.

• Rayon r = 3,5 cm
• Hauteur h = 20 cm

V = π × 3,5² × 20 = π × 12,25 × 20 ≈ 769,7 cm³

Comme 1 cm³ = 1 mL, cela donne environ 770 mL, soit 77 cl.

La bonne réponse est donc 75 cl (c'est la valeur la plus proche, l'écart venant d'un arrondi ou d'une légère différence de dimensions).

La contenance de votre cylindre est donc bien plus proche de 75 cl (qui équivaut à 750 ml) que de 1 Litre (1 000 ml). Il dépasse juste d'un tout petit chouïa les 75 cl !