Exercice 3 — Boîte de conserve optimale

 Optimisation

Exercice 3 — Boîte de conserve optimale⭑⭑⭑⭑⭑ Expert

On veut fabriquer une boîte cylindrique (sans couvercle) d'un volume fixe de 500 cm³ en utilisant le moins de matière possible. Trouver le rayon r et la hauteur h qui minimisent la surface latérale + fond. Quelle est la surface minimale ?

Indice : exprimer h en fonction de r via V = πr²h, substituer dans S = πr² + 2πrh, dériver et annuler S'(r) = 0.

S(r) = πr² + 2πr × (500 / πr²) = πr² + 1000/r    

1h = 500 / (πr²)
2S(r) = πr² + 1000/r
3S'(r) = 2πr − 1000/r² = 0 → 2πr³ = 1000 → r³ = 500/π
4r = ∛(500/π) ≈ ∛(159,15) ≈ 5,42 cm
5h = 500 / (π × 5,42²) ≈ 500 / 92,35 ≈ 5,41 cm (≈ r, résultat classique !)
6S_min = π × 5,42² + 1000/5,42 ≈ 92,35 + 184,50 ≈ 276,85 cm²

r ≈ h ≈ 5,42 cm → S_min ≈ 276,9 cm²