Exercice 1 — Silo agricole

 Solide composé

Exercice 1 — Silo agricole⭑⭑⭑⭑ Très difficile

Un silo est formé d'un cylindre surmonté d'un demi-sphère et reposant sur un cône. Le cylindre a un rayon de 3 m et une hauteur de 8 m. Le demi-sphère a le même rayon. Le cône a le même rayon et une hauteur de 4 m. Calculer le volume total du silo en m³ puis en litres.

Indice : décomposer en 3 solides distincts et additionner leurs volumes.

1Cylindre : V₁ = π × 3² × 8 = π × 72 ≈ 226,19 m³
2Demi-sphère : V₂ = (2/3) × π × 3³ = (2/3) × π × 27 ≈ 56,55 m³
3Cône : V₃ = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 ≈ 37,70 m³
4Total = 226,19 + 56,55 + 37,70 = 320,44 m³

≈ 320,44 m³ = 320 440 litres

Cylindre creux Exercice 5 — Tuyau en PVC

 Cylindre creux

Exercice 5 — Tuyau en PVC⭑⭑⭑ Difficile

Un tuyau cylindrique a un diamètre extérieur de 10 cm, un diamètre intérieur de 8 cm et une longueur de 2 m. Quel est le volume de matière (PVC) qui compose le tuyau, en cm³ ?

V = π × (R² − r²) × h

R = 5 cm (ext), r = 4 cm (int), h = 200 cm
V = π × (25 − 16) × 200 = π × 9 × 200
V = π × 1800

≈ 5 655 cm³ de PVC

Ex. 4 — Chapeau de sorcière

 Cône droit

Ex. 4 — Chapeau de sorcière⭑⭑ Facile

Un cône droit a un rayon de base r = 8 cm et une hauteur h = 15 cm. Calculer l'aire latérale (sans la base).

A_lat = πrl où l = √(r² + h²)

1Apothème l = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 cm
2A_lat = π × 8 × 17 = 136π ≈ 427,26 cm²
3A_tot = 136π + π × 8² = 136π + 64π = 200π ≈ 628,32 cm²

l = 17 cm | A_lat ≈ 427,3 cm² | A_tot ≈ 628,3 cm²

Ex. 3 — Prisme triangulaire

 Prisme droit

Ex. 3 — Prisme triangulaire⭑⭑ Facile

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Sa hauteur est de 10 cm. Calculer son aire latérale et son aire totale.

A_lat = périmètre_base × h

1Périmètre base = 3 + 4 + 5 = 12 cm
2A_lat = 12 × 10 = 120 cm²
3Aire base = (3 × 4) / 2 = 6 cm² → 2 bases = 12 cm²
4A_tot = 120 + 12 = 132 cm²

A_lat = 120 cm² | A_tot = 132 cm²

Ex. 2 — Boîte de conserve

 Cylindre

Ex. 2 — Boîte de conserve⭑ Facile

Un cylindre droit a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calculer son aire latérale et son aire totale.

A_lat = 2πrh | A_tot = 2πr(h + r)

1A_lat = 2π × 5 × 12 = 120π ≈ 376,99 cm²
2A_tot = 2π × 5 × (12 + 5) = 2π × 85 = 170π ≈ 534,07 cm²

A_lat ≈ 377 cm² | A_tot ≈ 534 cm²

Ex. 1 — Boîte en carton

 Cube

Ex. 1 — Boîte en carton⭑ Très facile

Un cube a une arête de 6 cm. Calculer son aire latérale (4 faces) et son aire totale (6 faces).

A_lat = 4a² | A_tot = 6a²

1A_lat = 4 × 6² = 4 × 36 = 144 cm²
2A_tot = 6 × 36 = 216 cm²

A_lat = 144 cm² | A_tot = 216 cm²

Exercice 6 — Retrouver les dimensions

 Problème inversé

Exercice 6 — Retrouver les dimensions⭑⭑⭑⭑⭑ Expert

Un cône et une sphère ont le même volume V = 288π cm³. Le rayon de la sphère est R. Le cône a un rayon de base égal à 2R et une hauteur h. Trouver R et h.

Indice : exprimer R depuis V_sphère = 288π, puis h depuis V_cône = 288π avec r = 2R.

1V_sphère = (4/3)πR³ = 288π → R³ = 288 × 3/4 = 216 → R = 6 cm
2Rayon du cône : r = 2R = 12 cm
3V_cône = (1/3)π × 12² × h = (1/3)π × 144 × h = 48πh = 288π
4h = 288π / 48π = 6 cm

R = 6 cm (sphère)  |  r = 12 cm, h = 6 cm (cône)